Class 3

Zanim zaczniemy

0. Przydatne zasoby pomocowe w pracy z `R` - część trzecia

library(tidyverse)
library(MuMIn)
library(lme4)
library(lmerTest)
library(sjPlot)

dane <- read_csv("BTdata.csv", 
                 col_types = cols(sex = col_factor(levels = c("Fem", "Male", "UNK")),
                                  habitat = col_factor(levels = c("forest", "park"))))
dane <- filter(dane, sex != "UNK")

A. Regresja, ANOVA + ANCOVA

1. Regresja wielokrotna

We wszystkich modelach liniowych tworzonych w R stosujemy konwencję formuły do zapisania zależności między zmiennymi w modelu. Oto kilka podstawowych elementów formuły, wraz z ich interpretacją:

Formuła	Znaczenie
`y ~ x`	Regresja prosta (`x` ciągłe) lub jednokierunkowa ANOVA (`x` kategoryczne); jeśli `x` ma 2 poziomy taka notacja da wynik identyczny z `t.test()`
`y ~ x + z`	Regresja wielokrotna (`x` i `z` ciągłe); dwukierunkowa ANOVA (`x` i `z` kategoryczne); ANCOVA (jedna zmienna ciągła, druga kategoryczna)
`y ~ x * z`	Model liniowy z interakcją `x`$\times$`y`
`y ~ x + z + x:z`	Alternatywny zapis poprzedniego modelu
`y ~ (x + z + a)^2`	Model z 3 czynnikami, i ich wszystkimi interakcjami 2 stopnia (zapis równoważny `x + z + a + x:a + x:z + z:a`)
`y ~ x * z * a`	Model z 3 czynnikami i ich wszystkimi interakcjami (łącznie z `x:z:a`)
`y ~ x\|z`	Model ze zmienną `x` zagnieżdżoną w `z`

Zadanie Opierając się na prostej regresji skonstruuj model, w którym na tarsus potencjalnie wpływają: hatchdate, sex, habitat, interakcja habitat x hatchdate, interakcja sex x hatchdate. Zapisz go w nowym obiekcie - czy którykolwiek czynnik modelu jest istotny statystycznie?

Oczekiwany wynik

model1 <- lm(tarsus ~ hatchdate + habitat + sex + habitat:hatchdate + hatchdate:sex,
             data = dane)
summary(model1)

## 
## Call:
## lm(formula = tarsus ~ hatchdate + habitat + sex + habitat:hatchdate + 
##     hatchdate:sex, data = dane)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -1.71722 -0.29330  0.05528  0.30670  2.09627 
## 
## Coefficients:
##                        Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)           15.231391   0.565077  26.955   <2e-16 ***
## hatchdate             -0.019726   0.011697  -1.686   0.0921 .  
## habitatpark           -0.524629   0.649435  -0.808   0.4194    
## sexMale               -0.003442   0.648839  -0.005   0.9958    
## hatchdate:habitatpark  0.011810   0.013430   0.879   0.3795    
## hatchdate:sexMale      0.008137   0.013417   0.606   0.5444    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.4631 on 775 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.1561, Adjusted R-squared:  0.1506 
## F-statistic: 28.66 on 5 and 775 DF,  p-value: < 2.2e-16

plot(model1)

Uprość model usuwając kolejno nieistotne interakcje. Jaka jest ostateczna interpretacja finalnego modelu?

Oczekiwany wynik

model1 <- lm(tarsus ~ hatchdate + habitat + sex + habitat:hatchdate,
             data = dane)
summary(model1)

## 
## Call:
## lm(formula = tarsus ~ hatchdate + habitat + sex + habitat:hatchdate, 
##     data = dane)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -1.73620 -0.28877  0.05101  0.30354  2.09101 
## 
## Coefficients:
##                        Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)           15.030980   0.458192  32.805   <2e-16 ***
## hatchdate             -0.015579   0.009487  -1.642    0.101    
## habitatpark           -0.519466   0.649114  -0.800    0.424    
## sexMale                0.389543   0.033161  11.747   <2e-16 ***
## hatchdate:habitatpark  0.011705   0.013423   0.872    0.383    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.4629 on 776 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.1557, Adjusted R-squared:  0.1513 
## F-statistic: 35.77 on 4 and 776 DF,  p-value: < 2.2e-16

model1 <- lm(tarsus ~ hatchdate + habitat + sex,
             data = dane)
summary(model1)

## 
## Call:
## lm(formula = tarsus ~ hatchdate + habitat + sex, data = dane)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -1.70922 -0.29145  0.05238  0.31820  2.08274 
## 
## Coefficients:
##              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 14.749240   0.324830  45.406   <2e-16 ***
## hatchdate   -0.009733   0.006711  -1.450    0.147    
## habitatpark  0.045817   0.033155   1.382    0.167    
## sexMale      0.389645   0.033156  11.752   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.4628 on 777 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.1548, Adjusted R-squared:  0.1516 
## F-statistic: 47.45 on 3 and 777 DF,  p-value: < 2.2e-16

$\blacksquare$

2. Regresja wielokrotna via seleckja modeli

Aby przeprowadzić selekcję modeli musimy najpierw ponownie policzyć najbardziej złożony model - tzw. model maksymalny.

model0 <- lm(tarsus ~ hatchdate + habitat + sex + habitat:hatchdate + hatchdate:sex,
             data = dane, na.action = 'na.fail')

Funkcja dredge() w pakiecie MuMIn przeprowadza automatyczną selekcję modeli, wraz z dopasowaniem modeli zagnieżdżonych w głównym modelu stworzonym powyżej.

Zadanie Spróbuj wykonać taką selekcję, zapisując jej wynik do obiektu model_sel. Następnie zobacz jak wygląda powstały w ten sposób obiekt.

Oczekiwany wynik

model_sel <- dredge(model0, trace = T)

## Fixed term is "(Intercept)"

## 0 : lm(formula = tarsus ~ 1, data = dane, na.action = "na.fail")
## 1 : lm(formula = tarsus ~ habitat + 1, data = dane, na.action = "na.fail")
## 2 : lm(formula = tarsus ~ hatchdate + 1, data = dane, na.action = "na.fail")
## 3 : lm(formula = tarsus ~ habitat + hatchdate + 1, data = dane, na.action = "na.fail")
## 4 : lm(formula = tarsus ~ sex + 1, data = dane, na.action = "na.fail")
## 5 : lm(formula = tarsus ~ habitat + sex + 1, data = dane, na.action = "na.fail")
## 6 : lm(formula = tarsus ~ hatchdate + sex + 1, data = dane, na.action = "na.fail")
## 7 : lm(formula = tarsus ~ habitat + hatchdate + sex + 1, data = dane, 
##     na.action = "na.fail")
## 11 : lm(formula = tarsus ~ habitat + hatchdate + habitat:hatchdate + 
##     1, data = dane, na.action = "na.fail")
## 15 : lm(formula = tarsus ~ habitat + hatchdate + sex + habitat:hatchdate + 
##     1, data = dane, na.action = "na.fail")
## 22 : lm(formula = tarsus ~ hatchdate + sex + hatchdate:sex + 1, data = dane, 
##     na.action = "na.fail")
## 23 : lm(formula = tarsus ~ habitat + hatchdate + sex + hatchdate:sex + 
##     1, data = dane, na.action = "na.fail")
## 31 : lm(formula = tarsus ~ habitat + hatchdate + sex + habitat:hatchdate + 
##     hatchdate:sex + 1, data = dane, na.action = "na.fail")

model_sel

## Global model call: lm(formula = tarsus ~ hatchdate + habitat + sex + habitat:hatchdate + 
##     hatchdate:sex, data = dane, na.action = "na.fail")
## ---
## Model selection table 
##    (Int) hbt       htc sex hbt:htc htc:sex df   logLik   AICc  delta weight
## 5  14.30                 +                  3 -506.383 1018.8   0.00  0.191
## 7  14.75     -0.009317   +                  4 -505.416 1018.9   0.09  0.183
## 8  14.75   + -0.009733   +                  5 -504.458 1019.0   0.20  0.173
## 6  14.28   +             +                  4 -505.513 1019.1   0.28  0.166
## 16 15.03   + -0.015580   +       +          6 -504.075 1020.3   1.46  0.092
## 23 14.95     -0.013380   +               +  5 -505.234 1020.5   1.75  0.080
## 24 14.94   + -0.013750   +               +  6 -504.279 1020.7   1.87  0.075
## 32 15.23   + -0.019730   +       +       +  7 -503.890 1021.9   3.13  0.040
## 1  14.51                                    2 -570.153 1144.3 125.52  0.000
## 3  14.99     -0.010100                      3 -569.187 1144.4 125.61  0.000
## 4  14.99   + -0.010530                      4 -568.345 1144.7 125.94  0.000
## 2  14.48   +                                3 -569.394 1144.8 126.02  0.000
## 12 15.29   + -0.016650           +          5 -567.988 1146.1 127.26  0.000
## Models ranked by AICc(x)

Jak zinterpretujesz powstałe rezultaty? Który model jest najlepszy? Czy jest to wiodące prowadzenie na tle innych modeli?

Zadanie Użyj funkcji model_avg() by przeprowadzić uśrednianie modeli mieszczących się w zakresie deltaAICc <= 2 (subset = delta <= 2). Czy wyniki są bardziej jednoznaczne?

Oczekiwany wynik

model_average <- model.avg(model_sel, subset = delta <= 2)
summary(model_average)

## 
## Call:
## model.avg(object = model_sel, subset = delta <= 2)
## 
## Component model call: 
## lm(formula = tarsus ~ <7 unique rhs>, data = dane, na.action = na.fail)
## 
## Component models: 
##      df  logLik    AICc delta weight
## 3     3 -506.38 1018.80  0.00   0.20
## 23    4 -505.42 1018.88  0.09   0.19
## 123   5 -504.46 1018.99  0.20   0.18
## 13    4 -505.51 1019.08  0.28   0.17
## 1234  6 -504.08 1020.26  1.46   0.10
## 235   5 -505.23 1020.55  1.75   0.08
## 1235  6 -504.28 1020.67  1.87   0.08
## 
## Term codes: 
##           habitat         hatchdate               sex habitat:hatchdate     hatchdate:sex 
##                 1                 2                 3                 4                 5 
## 
## Model-averaged coefficients:  
## (full average) 
##                        Estimate Std. Error Adjusted SE z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)           14.638242   0.416181    0.416533  35.143   <2e-16 ***
## sexMale                0.327314   0.298596    0.298956   1.095    0.274    
## hatchdate             -0.007211   0.008631    0.008638   0.835    0.404    
## habitatpark           -0.030388   0.258184    0.258431   0.118    0.906    
## habitatpark:hatchdate  0.001122   0.005398    0.005403   0.208    0.836    
## hatchdate:sexMale      0.001295   0.006144    0.006151   0.211    0.833    
##  
## (conditional average) 
##                        Estimate Std. Error Adjusted SE z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)           14.638242   0.416181    0.416533  35.143   <2e-16 ***
## sexMale                0.327314   0.298596    0.298956   1.095    0.274    
## hatchdate             -0.011481   0.008341    0.008353   1.375    0.169    
## habitatpark           -0.057619   0.353305    0.353648   0.163    0.871    
## habitatpark:hatchdate  0.011705   0.013423    0.013444   0.871    0.384    
## hatchdate:sexMale      0.008035   0.013418    0.013439   0.598    0.550    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

$\blacksquare$

3. ANOVA

Zaimportuj do R dane pg.csv.

Zadanie Korzystając z funkcji lm() skonstruuj model, w którym zmienną zależną jest weight a niezależnymi group oraz mod. Jak wyglądają wyniki takiego modelu?

Oczekiwany wynik

model3 <- lm(weight ~ group + mod, data = plantgr)
summary(model3)

## 
## Call:
## lm(formula = weight ~ group + mod, data = plantgr)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -0.9710 -0.3765 -0.0330  0.2100  1.2600 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)   5.1410     0.2280  22.550   <2e-16 ***
## grouptrt1    -0.3710     0.2792  -1.329   0.1955    
## grouptrt2     0.4940     0.2792   1.769   0.0886 .  
## modN         -0.2180     0.2280  -0.956   0.3478    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.6244 on 26 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.2891, Adjusted R-squared:  0.2071 
## F-statistic: 3.525 on 3 and 26 DF,  p-value: 0.02881

Zadanie Porównaj uzyskany output z wynikiem użycia w podobny sposób funkcji aov().

Oczekiwany wynik

model4 <- aov(weight ~ group + mod, data = plantgr)
summary(model4)

##             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)  
## group        2  3.766  1.8832   4.831 0.0164 *
## mod          1  0.356  0.3564   0.914 0.3478  
## Residuals   26 10.136  0.3898                 
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Czy dodanie do modelu interakcji group:mod wyjaśnia dodatkową zmienność modelu? Wskazówka $R^2$ modelu policzonego za pomocą funkcji aov() można podejrzeć stosując summary.lm(model)$r.squared.

Oczekiwany wynik

model5 <- aov(weight ~ group * mod, data = plantgr)
summary(model5)

##             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)  
## group        2  3.766  1.8832   5.401 0.0116 *
## mod          1  0.356  0.3564   1.022 0.3221  
## group:mod    2  1.768  0.8839   2.535 0.1003  
## Residuals   24  8.368  0.3487                 
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

summary.lm(model4)$r.squared

## [1] 0.2891461

summary.lm(model5)$r.squared

## [1] 0.4131247

Zadanie Czy model z interakcją spełnia założenia modelu liniowego?

Oczekiwany wynik

plot(model5)

$\blacksquare$

B. Model uogólniony

1. Regresja logistyczna - GLM

Zaimportuj dane BTEPC.txt do obiektu btepc. Zmienne MAGEO i FAGEO powinny mieć charakter kategoryczny (factor). Jakiego rodzaju zmienne znajdują się w pliku?

Zadanie Skonstruuj wykres pokazujący zależność FEPC od MTAR.

Oczekiwany wynik

plot(jitter(FEPC, 0.3) ~ MTAR, data = btepc)

Zadanie Skonstruuj model testujący wpływ interakcji długości skoku partnera socjalnego (MTAR) i wieku samicy (FAGEO) na prawdopodobieństwo “skoku-w-bok” u sikory modrej. Pamiętaj o zmianie rodziny rozkładów dla modelu GLM.

Spodziewany wynik

model6 <- glm(FEPC ~ MTAR*FAGEO, data = btepc, family = "binomial")
summary(model6)

## 
## Call:
## glm(formula = FEPC ~ MTAR * FAGEO, family = "binomial", data = btepc)
## 
## Deviance Residuals: 
##    Min      1Q  Median      3Q     Max  
## -1.194  -1.134  -0.595   1.197   1.925  
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)  
## (Intercept)  -1.9114     9.3003  -0.206   0.8372  
## MTAR          0.1083     0.5448   0.199   0.8424  
## FAGEO2       36.0285    17.7443   2.030   0.0423 *
## MTAR:FAGEO2  -2.1401     1.0384  -2.061   0.0393 *
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 149.53  on 109  degrees of freedom
## Residual deviance: 139.68  on 106  degrees of freedom
##   (4 obserwacje zostały skasowane z uwagi na braki w nich zawarte)
## AIC: 147.68
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 4

Poniższy kod pozwala zobaczyć przewidywania modelu na realnej, biologicznej skali prawdopodobieństwa.

plot_model(model6, type = "int")

## Data were 'prettified'. Consider using `terms="MTAR [all]"` to get smooth plots.

$\blacksquare$

C. Model mieszany

1. Czy skok jest odziedziczalny?

Aby przetestować genetyczną komponentę cechy zmierzonej w ramach eksperymentu genetycznego wykorzystującego cross-fostering należy zbadań model zawierający efekty losowe gniazda wychowywania i gniazda genetycznego (rodziny, matki genetycznej). Czynniki takie typowo analizujemy jako efekty losowe - model musi więc mieć charakter mieszany.

Załaduj dane BTdata.csv, zadbaj by fosternest oraz dam miały charakter czynników kategorycznych (factor).

dane$fosternest <- as.factor(dane$fosternest)
dane$dam <- as.factor(dane$dam)

Model dopasujemy w funkcji lmer() z pakietu lme4 - zawierać ona będzie czynnik ustalony płci oraz czynniki losowe fosternest i dam.

Zadanie Wiedząc, że w lmer() czynnik losowy dodajemy wg konwencji (1|nazwa_czynnika) - skonstruuj i policz odpowiedni model. Gdzie w jego podsumowaniu znajdują się informacje o efektach losowych? Czy model spełnia założenia modelu liniowego?

Spodziewany wynik

model7 <- lmer(tarsus ~ sex + (1|fosternest) + (1|dam), data = dane)
plot(model7)

summary(model7)

## Linear mixed model fit by REML. t-tests use Satterthwaite's method ['lmerModLmerTest']
## Formula: tarsus ~ sex + (1 | fosternest) + (1 | dam)
##    Data: dane
## 
## REML criterion at convergence: 890.9
## 
## Scaled residuals: 
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -4.1407 -0.6128  0.0703  0.6250  4.9918 
## 
## Random effects:
##  Groups     Name        Variance Std.Dev.
##  dam        (Intercept) 0.05401  0.2324  
##  fosternest (Intercept) 0.01621  0.1273  
##  Residual               0.14495  0.3807  
## Number of obs: 781, groups:  dam, 106; fosternest, 104
## 
## Fixed effects:
##              Estimate Std. Error        df t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  14.29877    0.03338 169.96645  428.33   <2e-16 ***
## sexMale       0.38518    0.02890 700.38893   13.33   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Correlation of Fixed Effects:
##         (Intr)
## sexMale -0.456

Zadanie Aby przetestować czy czynnik losowy jest istotny statystycznie oblicz konkurencyjny model pozbawiony czynnika rodzica genetycznego (dam) i porównaj go z wcześniejszym modelem za pomocą funkcji anova(). Który model ma niższe AIC i jest tym samym lepszy? Czy różnica jest istotna statystycznie?

Spodziewany wynik

model8 <- lmer(tarsus ~ sex + (1|fosternest), data = dane)
anova(model7, model8)

## refitting model(s) with ML (instead of REML)

## Data: dane
## Models:
## model8: tarsus ~ sex + (1 | fosternest)
## model7: tarsus ~ sex + (1 | fosternest) + (1 | dam)
##        npar    AIC    BIC  logLik deviance Chisq Df Pr(>Chisq)    
## model8    4 971.80 990.45 -481.90   963.80                        
## model7    5 890.44 913.75 -440.22   880.44 83.36  1  < 2.2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

$\blacksquare$

2. Czy temperatura różnie wpływ na tempo wzrostu u różnych gatunków plnaktonu?

Załaduj dane PLD.txt do obiektu pld. Przyjrzyj się strukturze danych. Zamień kolumnę species na factor:

pld$species <- as.factor(pld$species)

Zadanie Stwórz model mieszany analizujący zależność długości okresu larwalnego (PLD) od temperatury u różnych gatunków bezkręgowców. Użyj species jako efektu losowego, zlogarytmuj w modelu zmienną zależną i niezależną. Czy zmienność między gatunkami jest duża, czy mała?

Spodziewany wynik

model9 <- lmer(log(pld) ~ log(temp) + (1|species), data = pld)
summary(model9)

## Linear mixed model fit by REML. t-tests use Satterthwaite's method ['lmerModLmerTest']
## Formula: log(pld) ~ log(temp) + (1 | species)
##    Data: pld
## 
## REML criterion at convergence: 220.9
## 
## Scaled residuals: 
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -2.75675 -0.49022 -0.00731  0.47073  2.94018 
## 
## Random effects:
##  Groups   Name        Variance Std.Dev.
##  species  (Intercept) 0.78083  0.8836  
##  Residual             0.04207  0.2051  
## Number of obs: 214, groups:  species, 72
## 
## Fixed effects:
##             Estimate Std. Error       df t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)   6.1661     0.1746 209.0718   35.32   <2e-16 ***
## log(temp)    -1.1508     0.0493 152.1852  -23.34   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Correlation of Fixed Effects:
##           (Intr)
## log(temp) -0.798

Zadanie Uzupełnij model możliwością zmiennych międzygatunkowo nachyleń zależności pld~temp zamieniając 1 w definicji efektu losowego na 1+log(temp). Który model jest lepszy?

model10 <- lmer(log(pld) ~ log(temp) + (1+log(temp)|species), data = pld)
summary(model10)

## Linear mixed model fit by REML. t-tests use Satterthwaite's method ['lmerModLmerTest']
## Formula: log(pld) ~ log(temp) + (1 + log(temp) | species)
##    Data: pld
## 
## REML criterion at convergence: 184.7
## 
## Scaled residuals: 
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -2.7463 -0.4046  0.0015  0.4255  3.8863 
## 
## Random effects:
##  Groups   Name        Variance Std.Dev. Corr 
##  species  (Intercept) 4.35612  2.0871        
##           log(temp)   0.28894  0.5375   -0.92
##  Residual             0.02035  0.1426        
## Number of obs: 214, groups:  species, 72
## 
## Fixed effects:
##             Estimate Std. Error       df t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  7.07746    0.29590 58.36905   23.92   <2e-16 ***
## log(temp)   -1.43319    0.08364 53.21283  -17.14   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Correlation of Fixed Effects:
##           (Intr)
## log(temp) -0.943

anova(model9, model10)

## refitting model(s) with ML (instead of REML)

## Data: pld
## Models:
## model9: log(pld) ~ log(temp) + (1 | species)
## model10: log(pld) ~ log(temp) + (1 + log(temp) | species)
##         npar    AIC    BIC   logLik deviance  Chisq Df Pr(>Chisq)    
## model9     4 222.02 235.48 -107.010   214.02                         
## model10    6 190.79 210.98  -89.394   178.79 35.232  2  2.236e-08 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Poniższa funkcja (szczegółami zajmiemy się jutro) ilustruje badane dane, pokazując zależności log(pld)~log(temp) dla wszystkich obecnych w danych gatunków:

library(ggplot2)
qplot(x = log(temp), y = log(pld),
      data = pld, col = species, ) +
  geom_smooth(method = "lm", se = F) +
  theme_bw() + theme(legend.position="none")

## `geom_smooth()` using formula 'y ~ x'

$\blacksquare$

D. Expressem przez bootstrapping

Do tej pory do naszych analiz wykorzystywaliśmy metody parametryczne - możemy jednak spróbować wykorzystać inną, prostszą metodę, która pozwoli nam uwolnić się od ograniczeń rozkładowych naszych danych. Spójrzmy na przykład na rozkład zmiennej hatchdate - nie jest on najpiękniejszy i na pierwszy rzut oka nie przypomina on zgrabnego rozkładu normalnego:

hist(dane$hatchdate, 15)

Spróbujmy skonstruować test oparty na bootstrappingu, którym sprawdzimy czy ptaki z lasu (forest) różnią się pod kątem daty klucia od ptaków z parków (park). Szybki rzut oka na wykres pudełkowy nie wskazuje na zbyt wielkie różnice.

plot(hatchdate ~ habitat, data = dane)

Do skonstruowania bootstrappingu wykorzystamy pętlę for, która pozwala powtarzać jakąś operację wiele razy. Jeśli chcielibyśmy np. wydrukować na ekranie (print()) jakiś tekst pięć razy - moglibyśmy osiągnąć to w następujący sposób:

for(i in 1:5) {
  print("Tekst najbardziej oryginalny!")
}

## [1] "Tekst najbardziej oryginalny!"
## [1] "Tekst najbardziej oryginalny!"
## [1] "Tekst najbardziej oryginalny!"
## [1] "Tekst najbardziej oryginalny!"
## [1] "Tekst najbardziej oryginalny!"

Zauważ, że pętla for wykorzystuje jakąś zmienną (tutaj i), zmieniając jej wartość w zadanym zakresie (tutaj 1:5) i za każdym razem (dla każ∂ego i) wykonując jakieś działania ujęte wewnątrz {}.

Potrzebna nam będzie również metoda losowego wybierania pewnych wierszy z naszych oryginalnych danych - ze zwracaniem. Idealnie do tego nadaje się funkcja sample(). Zobaczmy, jak losuje ona zadaną liczbę wartości (10) z podanej listy (liczby 1 do 20), ze zwracaniem (replace = T):

sample(1:20, size = 10, replace = T)

##  [1] 17 20 12 16  2 17 13 17 18 18

Uwaga! Funkcja ta używa generatora liczb pseudolosowych - więc u każdego wynik tej operacji będzie inny!

Wreszcie - musimy mieć naszą statystykę testową. Niech będzie nią różnica między średnią datą klucia w sikor leśnych i parkowych $d_0$ - jeśli wynosi ona zero, ptaki mają identyczne daty klucia:

d0 <- mean(filter(dane, habitat == "forest")$hatchdate) -
  mean(filter(dane, habitat == "park")$hatchdate)
d0

## [1] -0.2214331

Ujemna różnica wskazuje na nieco wyższą wartość (późniejsze klucie) w parku - pytanie, czy istotnie późniejsze?

Oto co powinna robić nasza procedura bootstrappingu:

Krok 1: wylosuj z zestawu danych k = 781 obserwacji (wierszy) ze zwracaniem (tyle wierszy składa się na oryginalny zestaw danych).
Krok 2: dla każdego z tych wylosowanych zestawów policz jego własną statystykę d - różnicę w średniej dacie klucia między lasem i parkiem.
Krok 3: Powtórz całą procedurę N = 1000 razy (jest to arbitralna wielkość, im więcej - tym lepiej). Za każdym razem zapisz wynik do zbiorczego obiekty out.
Krok 4: Skonstruuj rozkład statystyki d i zobacz gdzie wypada w niej jej oryginalna (oparta na wejściowych danych) wartość d0.

N <- 1000 # liczba zakładanych powtórzeń
k <- nrow(dane) # wielkość oryginalnego zbioru danych

# oryginalna statystyka testowa
d0 <- mean(filter(dane, habitat == "forest")$hatchdate) -
  mean(filter(dane, habitat == "park")$hatchdate)

# obiekt wynikowy przygotowany na N=1000 końcowych wartości
out <- numeric(N)

for(i in 1:N) {
  
  # losujemy 828 wierszy, ze zwracaniem
  # a oryginalnej puli unikatowych 828 wierszy danych
  rows <- sample(1:k, size = k, replace = T)
  
  # tworzymy tymczasowe dane wewnątrz pętli
  # zawierające tylko wylosowane wiersze
  temp_dane <- dane[rows, ]
  
  # oblicza na podstawie tak przygotowanych danych
  # tymczasową statystykę testową dla powtórzenia
  # nr i pętli
  d_temp <- mean(filter(temp_dane, habitat == "forest")$hatchdate) -
    mean(filter(temp_dane, habitat == "park")$hatchdate)
  
  # zapisujemy wyliczoną statystykę
  # do zmiennej out w miejscu i
  out[i] <- d_temp
  
}

Wyświetlmy rozkład symulowanej statystyki d oraz położenie d0 na rozkładzie:

hist(out, 50)
abline(v = d0, lwd = 2)
abline(v = 0, col = "red", lwd = 2, lty = 2)

Jak podejdziesz to odpowiedzi na pytanie - czy ta symulacja wskazuje na istotną statystycznie różnicę między symulowaną statystyką a wartością zero?

$\blacksquare$

Class 3

Zanim zaczniemy

0. Przydatne zasoby pomocowe w pracy z R - część trzecia

A. Regresja, ANOVA + ANCOVA

1. Regresja wielokrotna

2. Regresja wielokrotna via seleckja modeli

3. ANOVA

B. Model uogólniony

1. Regresja logistyczna - GLM

C. Model mieszany

1. Czy skok jest odziedziczalny?

2. Czy temperatura różnie wpływ na tempo wzrostu u różnych gatunków plnaktonu?

D. Expressem przez bootstrapping

0. Przydatne zasoby pomocowe w pracy z `R` - część trzecia